História dos Números

Ensino Fundamental II e Ensino Médio 

                                  HISTÓRIA DOS NÚMEROS 

 Antigamente, a Matemática não existia na forma que é conhecida atualmente. Durante muito tempo as pessoas NÃO SABIAM CONTAR! 

Algo que para nós hoje parece muito estranho! Você vê sua vida sem os números? Reflita um pouco...

Com certeza não.  Os números se fazem presente no nosso dia a dia: no relógio, no calendário, nas medidas, nas distâncias, na culinária e tantas outras áreas. Definitivamente, sabemos que  não é possível viver sem lidarmos com os números.

Provavelmente, a necessidade das pessoas por contar surgiu a partir das suas práticas diárias. Quando as antigas civilizações começaram a criar animais e a plantar, surgindo a agricultura e o pastoreio, há cerca de 10.000 anos atrás, contar passou a ser essencial para que pudessem controlar o que possuíam. 

A noção por contar surgiu da correspondência um a um (correspondência biunívoca). Como assim? Calma que eu explico...Contam que os antigos pastores de ovelhas ao levar elas para pastarem, associava cada ovelha a uma pedrinha que era guardada em um saquinho. Assim, ao voltarem com as ovelhas os pastores comparavam a quantidade de ovelhas que retornavam com a quantidade de pedrinhas. Deste modo, se não sobrassem pedrinhas após a passagem do rebanho, ele sabia que todas as ovelhas haviam voltado. Mas, caso isso não acontecesse, talvez o lobo mau tenha aparecido no pasto (credo, tomará que não, né!?)

      Fonte: http://estudosmatematica.blogspot.com/2007/09/como-surgiu-noo-de-nmero.html

Entretanto, para a realização da correspondência um a um não era feita somente com pedras, mas também eram usados nós em cordas, marcas nas paredes, talhes em ossos, desenhos nas cavernas e outros tipos de marcação para outros contextos.

Com o passar do tempo, diversas civilizações contribuíram com a criação de métodos de contagem e símbolos para representar quantidades. Realmente, a humanidade realizou um trabalho bem puxado para chegar até aqui!

                                                                    

                          A diferença entre numeral, número e algarismo

O numeral é a forma usada para expressar um número. Isto é, numeral é a representação gráfica (palavra, gesto ou símbolo) do número.

Enquanto , o número está associado a noção de uma quantidade, quando contamos as canetas, enumeramos a posição de uma pessoa numa fila ou medimos o peso de uma caixa. E por último o algarismo (ou também chamado dígito), refere-se a todo símbolo numérico que usamos para formar os números.

Exemplo: O número vinte e dois pode ser representado pelo numeral XXII ( no sistema romano ), pelo numeral 22 ( no sistema indo-arábico ) e de muitas outras maneiras. No sistema indo-arábico, sua apresentação usou os algarismos 2 e 3, e no sistema romano usou os algarismos X e I.

                                           Criando símbolos e regras 

Outra dificuldade que a humanidade se deparou provavelmente, há milhares de anos atrás, era trabalhar com grandes quantidades. Pois, imagina o trabalho que daria empilhar pedras ou fazer marcas na madeira para poder contar? Realmente uma situação pouco prática...E como sabemos a curiosidade faz parte do instinto humano, e daí surgiu a ideia de agrupar para visualizar melhor as quantidade, criando símbolos especiais para esses agrupamentos e regras para registrar as quantidades com o uso desta simbologia. Desse modo, os primeiros sistemas de numeração foram criados.

Simplificando, o sistema de numeração é o conjunto de regras que permite escrever e ler qualquer número utilizando símbolos e palavras.

Vamos conhecer de uma maneira mais aprofundada sobre o:  SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO,SISTEMA DE NUMERAÇÃO BABILÔNIO, SISTEMA DE NUMERAÇÃO MAIA, SISTEMA DE NUMERAÇÃO ROMANO, SISTEMA DE NUMERAÇÃO INDO-ARÁBICO.

Essas antigas civilizações que comentamos e outras também viveram há muitos anos atrás. Abaixo veja a localização de algumas delas e o período de maior desenvolvimento que essas civilizações tiveram:

Fonte: Imagem retirada do livro Conquistando a Matemática, de autoria de José Ruy Giovanni Jr. e Benedicto Castrucci

Sistema de numeração egípcio

 

Você já ouviu falar nas pirâmides do Egito? 

Fonte: https://www.todamateria.com.br/as-piramides-do-egito/

Provavelmente sim, os egípcios eram povos que tinham muitas habilidades em arquitetura, astronomia, medicina e tantas outras que muitas vezes requeriam cálculos, e cálculos necessitavam de números. E aí surge a pergunta, quais números?

 

Então, os egípcios diante da sua intelectualidades criaram um dos primeiros sistema de numeração que se tem notícia a partir de símbolos especiais.

 

O sistema de numeração egípcio tinha sete símbolos:

 

E cada um destes símbolos possuem os valores que conhecemos hoje, um traço na vertical representava 1 unidade; um osso de calcanhar invertido representava 10 unidades; uma corda enrolada valia 100 unidades; uma flor de lótus representava o número 1.000; um dedo indicador valia 10.000 unidades; uma ave, peixe ou girino indicava 100.000; e por último o homem erguendo os braços para o céu  valia 1.000.000. E através destes  símbolos era possível escrever  outros números e fazer contas, entretanto, observe que não existia um símbolo para o zero.

 

Você arrisca dizer qual tipo de agrupamento que os egípcios utilizavam? 

Calma, se não descobriu vamos as explicações...

A noção de agrupar foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração, então os números de 1 a 9 eram representados como:

1: I

2: II

3: III

4: IIII
5: IIII

6: IIIIII

7: IIIIIII

8: IIIIIIII

9: IIIIIIIII

Ao chegar às dezenas os IIIIIIIIII eram substituídos por  ∩. Desse modo, a centena 

os ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩ foram substituídos por , assim a cada 10 símbolos repetidos, fazia-se a troca por outro, de um agrupamento superior. Portanto, cada símbolo podia ser repetido no máximo 9 vezes, e por isso é considerado um SISTEMA DECIMAL. Desse modo, o maior valor que pode ser representado pelo sistema de numeração egípcio é 9.999.999.

Outra, característica do sistema de numeração egípcio era considerado aditivo, pois adicionava os valores dos símbolos utilizados para encontrar o valor representado. Observe os exemplos:

23:∩∩II= 10+10+1+1

150:∩∩∩∩∩=100+10+10+10+10+10

1.225:  ∩∩IIIII= 1.000+100+100+10+10+1+1+1+1+1

O sistema de numeração não é posicional, pois seus símbolos não recebem outro valor dependendo da sua posição. Por exemplo, para representar o número 110 podemos representa-lo como ∩ ou ∩, ambas as representações equivalem ao valor 110.

• Adição e subtração com os números egípcios

Vamos calcular 25+ 7 , utilizando a representação egípcia. Lembre que, um agrupamento de 10 símbolos são substituídos pelo símbolo superior.

∩∩IIIII                  IIIIIII    = ∩∩IIIII IIIIIII       = ∩∩∩II

 25             +         7         =  32                                           

Observe que aqui os dez traços ( IIIIIIIII) foram substituídos por um osso de calcanhar (∩) que vale dez.

Agora, como sabemos realizar adição vamos fazer uma subtração com os números egípcios, tomemos como exemplo: 34 - 6

∩∩∩IIII   -  IIIIIII  = ∩∩ IIIIIIIIIIIIII = ∩∩ IIIIIIII

  34         -    6                                    = 28

Na subtração a lógica é inversa. Os símbolos que correspondiam ao valor a ser subtraído eram retirados do valor original, observe que da representação do 34 eram necessário retirar seis traços. Desse modo, alguns símbolos do valor original foram desmembrados em 10 símbolos do valor imediatamente abaixo dele, e a parte maior e destacada foi retirada. 

Sistema de numeração babilônico

Em escavações arqueológicas na região da Mesopotâmica (antiga região ente rio Tigres e rio Eufrates, atual Oriente Médio) foram encontrados blocos de argilas com inscrições que se assemelhavam as cunhas. Daí as escrita desse povo recebeu o nome de cuneiforme.

Escrita Cuneiforme. Fonte:https://www.infoescola.com/civilizacoes-antigas/escrita-cuneiforme/

Os babilônios usavam dois símbolos para registrar quantidades:  cravo e  asna.

O sistema de numeração babilônico era incompleto no sentido e que usava apenas dois símbolos:

O "cravo" podia ser utilizado até 9 vezes, representando os números de 1 a 9. 

O símbolo "asna" representava o número 10 e podia ser repetido até 5 vezes

Os babilônicos elaboraram  o primeiro sistema posicional (os algarismos têm valor pela posição  que ocupam), porque existia uma correspondência entre a ordem do grupo e a ordem de sua representação.  Podemos estabelecer a ordem de escrita  da direita para a esquerda os grupos de primeira ordem, depois os de segunda ordem, e assim por diante.

Os números de 1 a 59 eram representados de modo aditivo conforme a figura abaixo, repetindo cada um desses dois símbolos  antas vezes quantas fosse necessário. 

Fonte:https://pt.wikipedia.org/wiki/Numera%C3%A7%C3%A3o_babil%C3%B4nia

Enquanto, para números maiores de 59, a escrita se tornava posicional, observe abaixo:

                                     1 grupo de 3ª ordem   11 grupos de 2ª ordem   3 grupos de 1ª ordem

Símbolo que represente 3, por ocupar a primeira posição (da direita para a esquerda), valia efetivamente 3; o símbolo que representa 11, por ocupar a segunda posição, valia 11.60=660; o símbolo que representa 1, por ocupar a terceira posição, valia 1 · 60^2 = 3600. Desse modo, esta representação vale: 4.263

Contagem dos agrupamentos do sistema de numeração babilônico

É  importante ressaltar que este  sistema a contagem era feita em agrupamento de 60 (sistema sexagesimal), apesar de conter também uma sub-base 10, o que o caracteriza como um sistema misto. Observe a representação para números de 1 a 59 (na figura acima)

Para os números de 1 a 9 é usada uma cunha vertical para cada unidade.  Ao chegar a 10, em vez de dez cunhas verticais, é usada uma única cunha horizontal. Podemos dizer então que temos uma base 10.

O último número representado no quadro é 59 com cinco cunhas horizontais e nove cunhas verticais. O número seguinte, o 60, era representado por uma única cunha vertical. Aqui, outra vez a ideia de agrupamento. Só que neste caso, não se agrupa sob um novo símbolo, como no caso do 10, mas sob o mesmo símbolo usado para a unidade. A base do sistema de numeração fica então 60, com uma sub-base 10.

O curioso do Sistema de Numeração Babilônico é que não possuía um símbolo para representar o zero, mas o povo babilônico já possuíam  uma noção da sua existência. Você pode estar se perguntando como assim “noção da existência do zero?”

Acontece é que os babilônicos já trazia a noção de vazio, usando um espaço em branco entre os números, a fim de indicar que naquela determinada coluna não havia nenhum algarismo, e desta forma era possível diferenciar os tipos de agrupamento.  Observe:

 

      Fonte: Imagem retirada do livro Conquistando a Matemática, de autoria de José Ruy Giovanni Jr. e Benedicto Castrucci

Entretanto,  o sistema de numeração babilônico em alguma situações de cálculos poderia provocar erros ou até mesmo um duplo sentido de representação de algarismo devido o uso de apenas duas simbologias e noção do zero retratado por um espaço em branco.

Sistema de numeração maia

Os maias desenvolveram um sistema de numeração que podia representar qualquer número com apenas três símbolos. São eles: 

Os maias desenvolveram um sistema de numeração aditivo, multiplicativo e posicional que podia representar qualquer número com apenas três símbolos. São eles: 

 

 

Uma concha representava o zero, um ponto representava o número 1 (e podia ser repetido até 4 vezes) e uma barrinha o número 5 (podia ser repetido no máximo 3 vezes)

Os maias usavam um sistema vigesimal. De 0 a 19, os maias representavam estes números da seguinte forma:

A partir do 20, os números eram registrados em “andares”.  Os números eram representados considerando a posição do algarismo, por isso este sistema é considerado posicional.

O número 20 no sistema maia era representado, como:

 

 

 Observe que a concha vale zero e como está na primeira posição é multiplicado por 20^0 já na segunda posição temos o número 1 que é multiplicado por 20^1. E esta lógica seria seguida se houvesse mais posições.

 

Vamos representar o número 66.287 no sistema de numeração maia:

  

Sistema de numeração romano

O sistema romano utiliza sete letras maiúsculas: I, V, X, L, C, D e M, que correspondem, respectivamente, a: 1, 5, 10, 50, 100, 500, 1000.

Para escrever outros algarismos, é preciso combiná-los de acordo com algumas regras específicas conhecidas como princípios aditivo e subtrativo.

 

Fonte:https://br.pinterest.com/pin/819373725931082174/

Vamos conhecer algumas observações, referentes a este sistema de numeração:

·         1) As letras I, X, C, M somente poderão ser repetidas por três vezes consecutivas.

Exemplos:

III = 3

XXX=30

CCC= 300

MMM=3.000

·         2) As letras I, X, C podem ser escritas na frente das outras, tendo seus valores somados à letra de maior valor. Portanto, um símbolo “maior” seguido de um símbolo “menor” indica adição.

 Exemplos:

VIII = 5+3= 8

XV=10+5=15

·         3)As letras I, X, C podem ser escritas antes da outra, tendo seus valores subtraídos da letra de maior valor. Portanto, um símbolo “menor” seguido de um “maior” indicava a subtração.

Exemplos:

IV= 5-1=4

IX=10-1=9

 

    4)  Para representar os números maiores que 3.999 os romanos que colocavam um traço em cima do número e este passam a ser multiplicado por 1.000. Já para representar todos os números compreendidos entre 100.000 e 500.000 colocavam o número em um retângulo incompleto e o valor desse número é multiplicado por 100.000

Exemplos:

    5) Desta forma, o maior número romano que podemos escrever é 3.999.000, que corresponde a MMMCMXCIX.

Sistema de numeração indo-arábicos ou arábico 

O sistema de numeração que hoje usamos é conhecido como sistema de numeração decimal, ou indo-arábico (indo porque o antigo povo indiano foi seu criador, e arábico porque os árabes ajudaram a aperfeiçoá-lo e também foram os responsáveis por sua divulgação, principalmente na Europa. Depois de aperfeiçoado, ele apresentou características que o torna mais prático que outros.

• Com apenas estes 10 símbolos(chamados algarismos indo-arábicos) pode-se escrever qualquer número, por maior que seja:

0, 1, 2, 3 ,4 , 5 ,6 , 7, 8 ,9

 

• O sistema é decimal ou de base 10, pois agrupamos quantidades de 10 em 10.

10 unidades= 1 dezena

10 dezenas = 1 centena

10 centenas = 1 unidade de milhar

10 unidades de milhar = 1 centena de milhar

10 centenas de milhar = 1 unidade de milhão.

• Possui um símbolo (zero) para representar a ausência de unidades, dezenas,centenas, etc.
• Com somente dez algarismos (0 a 9) é possível registra todos os números, pois o mesmo algarismo assume valor diferente de acordo com sua posição na escrita do número. Portanto, o sistema decimal é chamado de sistema posicional. 

• O sistema decimal é multiplicativo, porque um algarismo escrito à esquerda de outro vale dez vezes o valor posicional que teria se estivesse ocupando a posição desse outro.

Exemplo: 666= 6 x 100 + 6 x 10 +6

• Partindo da direita para a esquerda, cada algarismo corresponde a uma ordem. Note que também separamos os algarismos da direita para a esquerda tem grupos de três ordens. Cada grupo dessa forma uma classe. Observe: 

Fonte: https://www.todamateria.com.br/sistema-de-numeracao-decimal/

Números decimais

Números decimais são números inteiros ou fracionados.

Os números decimais servem para indicar números não inteiros e que os algarismos após a vírgula pertencem à ordem das casas decimais.

 Um número decimal é composto pela parte inteira (parte que antecede a vírgula), o decimal, centésimo e milésimo. Desta forma, todas as partes juntas determinam a forma como o número deve ser lido.

Exemplos:

• 15,587 – quinze inteiros e quinhentos e oitenta e sete milésimos
• 9,002 – nove inteiros e dois milésimos
• 4,9 – quatro inteiros e nove décimos

Fonte: https://matematicazup.com.br/numeros-decimais/

REFERÊNCIAS  

Livro Praticando Matemática 6° ano 

Livro A Conquista da Matemática 6° ano 

http://www.numaboa.com.br/escolinha/matematica/240-calculando-com-os-egipcios

https://mundoeducacao.uol.com.br/matematica/sistema-numeracao-egipcios.htm

https://www.ebc.com.br/infantil/voce-sabia/2015/05/conheca-historia-dos-numeros

https://repositorio.ufrn.br/jspui/bitstream/123456789/21183/8/Produtoeducacional_PPGECNM_Silva_2016.pdf

https://repositorio.ufmg.br/bitstream/1843/EABA-98VHFE/1/trabalho_de_conclus_o_de_curso.pdf

http://www.diaadiaeducacao.pr.gov.br/portals/cadernospde/pdebusca/producoes_pde/2010/2010_uenp_mat_artigo_veronica_ortiz_de_oliveira.pdf

https://www.cesadufs.com.br/ORBI/public/uploadCatalago/17411316022012Matematica_Para_o_Ensino_Fundamental_Aula_14.pdf

https://escolakids.uol.com.br/matematica/numeros-romanos-3.htm

 

 

Potenciação

ENSINO FUNDAMENTAL II E ENSINO MÉDIO

Potenciação 

A potenciação é uma das operações fundamentais da Matemática e compreendê-la é extremamente útil para o aprendizado futuro de outros conteúdos matemáticos.Pois, na Matemática tudo está interligado. 

Bora aprender mais um conteúdo!?

1) POTENCIAÇÃO: INTRODUÇÃO

2) REFLETINDO SOBRE POTENCIAÇÕES...

3) EXPOENTE ZERO E UM

4)LEITURA DE POTENCIAÇÕES

4.1 Ao quadrado



4.2 Ao cubo



4.3 Demais expoentes

5) PROBLEMAS RESOLVIDOS 

5. 1 EXEMPLO 1

5. 2 EXEMPLO 2



5. 3 EXEMPLO 3



5. 4 EXEMPLO 4





Resumo em PDF dos conteúdos dos vídeos: CLIQUE AQUI

Atividades:  CLIQUE AQUI

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Reais (R)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Reais (R)

O conjunto dos números reais é formado pela união do conjunto Q (conjunto dos números racionais) com o conjunto I (conjunto dos números irracionais).

Representação dos conjuntos numéricos através de diagramas:

Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm

Perceba que o conjunto dos números irracionais é o complemento do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos reais, e vice versa.

INTERVALOS REAIS 

Os intervalos rais são subconjuntos dos números reais. Serão caracterizados por desigualdades.

Considere dois números reais, c e d, sendo c<d. Os números reais c e d são denominados extremos dos intervalos. 

• Intervalo fechado

Notação:[c,d] = {x ϵ R/ c ≤ x ≤ d}

A este intervalo [c,d] pertencem todos os números compreendidos entre c e d, inclusive c e d.

Agora, você deve estar olhando isso pensando: "Nossa, como vou aprender isso!? É muito difícil". Calma, na matemática usamos letras para poder generalizar um raciocínio, mas se você tem dificuldade de compreendê-las segue um exemplo numérico.

Representamos este intervalo fechado como [1,6] (colchetes voltado para dentro, pois temos o que chamamos de "bolinhas cheias" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, incluindo o 1 e o 6. 

Escrevendo, bonito (haha) e matematicamente temos:

Notação: [1,6]= {x ϵ R/ 1 ≤ x ≤ 6}

Nesta notação temos o símbolos maior ou igual e menor ou igual, pois na representação geométrica (no desenho) temos os dois números representados por "bolinhas cheias".

É super simples, é só se atentar a esses detalhes. Não tem nada de impossível ou complexo. Para dinamizar nossa explicação vou continuar explicando os outros intervalos e dando um exemplo numérico. Ok?

Intervalo aberto 

Notação: ]c,d[ =  {x ϵ R/ c < x < d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, não incluindo nem c e nem d.

Observe um exemplo numérico:

Representamos este intervalo aberto como ]1,6[ (colchetes voltado para fora, pois temos o que chamamos de "bolinhas vazias" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, excluindo o 1 e o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: ]1,6[= {x ϵ R/ 1 < x < 6}

Nesta notação temos o símbolos maior e menor, pois na representação geométrica (no desenho) temos os dois números representados por "bolinhas vazias".

• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

 Notação: [c,d[ =  {x ϵ R/ c ≤  x < d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, incluindo c e excluindo d.

Observe um exemplo numérico:

Representamos este intervalo fechado à esquerda e aberto à direita como [1,6[ (colchete voltado para dentro, pois temos  uma "bolinha cheia" e colchete voltado para fora, pois temos uma "bolinha vazia" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, incluindo o 1 e excluindo o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: [1,6[= {x ϵ R/ 1 ≤  x < 6}

Nesta notação temos o símbolos maior ou igual e menor, pois na representação geométrica (no desenho) temos um número representado por "bolinha cheia" e outro número representado por "bolinha vazia".

E agora vamos para o último intervalo:

• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

Notação: ]c,d] =  {x ϵ R/ c <  x ≤ d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, incluindo c e excluindo d.


Vamos para mais um exemplo numérico:

Representamos este intervalo aberto à esquerda e fechado à direita como ]1,6] (colchete voltado para fora, pois temos  uma "bolinha vazia" e colchete voltado para dentro, pois temos uma "bolinha cheia" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, excluindo o 1 e incluindo o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: ]1,6]= {x ϵ R/ 1<  x ≤ 6}

Nesta notação temos o símbolos maior e menor ou igual, pois na representação geométrica (no desenho) temos um número representado por "bolinha vazia" e outro número representado por "bolinha cheia".




Então, meu caro se você entendeu como usamos os colchetes do intervalo, os símbolos de maior ou menor, e maior ou igual ou menor ou igual diante do tipo de "bolinhas" que temos na representação geométrica. Você entendeu tudinho! Para quem está "mais perdido que cebola em salada de fruta" (frase de uma amiga minha hahaha), eu vou fazer um resuminho para você se organizar:


Intervalo fechado (Duas "bolinhas cheias"): Representamos o intervalo com os colchetes assim  [  ]  e na notação usamos os símbolos de ≤ ou ≥

Intervalo aberto (Duas "bolinhas vazias"): Representamos o intervalo com os colchetes assim ]  [ e na notação usamos os símbolos de < ou >

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (Uma "bolinha cheia" e outra "bolinha vazia"): Representamos o intervalo com os colchetes assim [ [ e na notação usamos os símbolos ≤ ou ≥ e < ou >.

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita ( Uma "bolinha vazia" e outra "bolinha cheia"): Representamos o intervalo com os colchetes assim ]  ] e na notação usamos os símbolos de < ou > e ≤ ou ≥.


Para aprofundar um pouquinho vamos falar sobre os intervalos indicados pelo símbolo infinito. 

Vocês podem estar pensando "Nossa, mas para quê isso?". Mas, saibam que quanto mais a gente souber sobre um assunto é melhor. E se entenderam os processos anteriores, fica muito mais fácil de entender este que irei apresentar.

• Intervalos indicados pelo símbolo ∞ (infinito)

Notação: ]c, + ∞[ = {x ϵ R/ x>c}

Observe que aqui temos um intervalo que vai de um extremo c (que pode ser qualquer número, que não estará incluso, pois usou-se bolinha "vazia") e envolve todos os números reais maiores que ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Notação: ]- ∞, c] = {x ϵ R/ x<c}


Observe que aqui temos um intervalo que vai até um extremo c (que pode ser qualquer número, que não estará incluso, pois usou-se bolinha "vazia") e envolve todos os números reais menores que ele (destacados em vermelho que tendem a - ∞)

Notação: [c, + ∞[ = {x ϵ R/ x≥c}


Observe que aqui temos um intervalo que vai de um extremo c (que pode ser qualquer número, que estará incluso, pois usou-se bolinha "cheia") e envolve todos os números reais maiores ou igual a ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Notação: [c, - ∞[ = {x ϵ R/ x ≤ c}

Observe que aqui temos um intervalo que vai até um extremo c (que pode ser qualquer número, que estará incluso, pois usou-se bolinha "cheia") e envolve todos os números reais menores ou igual a ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Observe que um intervalo também pode ir de ]- ∞, + ∞[, englobando assim o conjunto dos números Reais:

Notação:  ]- ∞, + ∞[ = R

Observação: O intervalo que tem a indicação do infinito é sempre aberto.

REFERÊNCIAS:

SILVA, Claudio Xavier da; BARRETO, Benigno Filho. Matemática aula por aula. 2. ed. renov. São Paulo: FTD, 2005.