CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Reais (R)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Reais (R)

O conjunto dos números reais é formado pela união do conjunto Q (conjunto dos números racionais) com o conjunto I (conjunto dos números irracionais).

Representação dos conjuntos numéricos através de diagramas:

Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm

Perceba que o conjunto dos números irracionais é o complemento do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos reais, e vice versa.

INTERVALOS REAIS 

Os intervalos rais são subconjuntos dos números reais. Serão caracterizados por desigualdades.

Considere dois números reais, c e d, sendo c<d. Os números reais c e d são denominados extremos dos intervalos. 

• Intervalo fechado

Notação:[c,d] = {x ϵ R/ c ≤ x ≤ d}

A este intervalo [c,d] pertencem todos os números compreendidos entre c e d, inclusive c e d.

Agora, você deve estar olhando isso pensando: "Nossa, como vou aprender isso!? É muito difícil". Calma, na matemática usamos letras para poder generalizar um raciocínio, mas se você tem dificuldade de compreendê-las segue um exemplo numérico.

Representamos este intervalo fechado como [1,6] (colchetes voltado para dentro, pois temos o que chamamos de "bolinhas cheias" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, incluindo o 1 e o 6. 

Escrevendo, bonito (haha) e matematicamente temos:

Notação: [1,6]= {x ϵ R/ 1 ≤ x ≤ 6}

Nesta notação temos o símbolos maior ou igual e menor ou igual, pois na representação geométrica (no desenho) temos os dois números representados por "bolinhas cheias".

É super simples, é só se atentar a esses detalhes. Não tem nada de impossível ou complexo. Para dinamizar nossa explicação vou continuar explicando os outros intervalos e dando um exemplo numérico. Ok?

Intervalo aberto 

Notação: ]c,d[ =  {x ϵ R/ c < x < d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, não incluindo nem c e nem d.

Observe um exemplo numérico:

Representamos este intervalo aberto como ]1,6[ (colchetes voltado para fora, pois temos o que chamamos de "bolinhas vazias" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, excluindo o 1 e o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: ]1,6[= {x ϵ R/ 1 < x < 6}

Nesta notação temos o símbolos maior e menor, pois na representação geométrica (no desenho) temos os dois números representados por "bolinhas vazias".

• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

 Notação: [c,d[ =  {x ϵ R/ c ≤  x < d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, incluindo c e excluindo d.

Observe um exemplo numérico:

Representamos este intervalo fechado à esquerda e aberto à direita como [1,6[ (colchete voltado para dentro, pois temos  uma "bolinha cheia" e colchete voltado para fora, pois temos uma "bolinha vazia" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, incluindo o 1 e excluindo o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: [1,6[= {x ϵ R/ 1 ≤  x < 6}

Nesta notação temos o símbolos maior ou igual e menor, pois na representação geométrica (no desenho) temos um número representado por "bolinha cheia" e outro número representado por "bolinha vazia".

E agora vamos para o último intervalo:

• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

Notação: ]c,d] =  {x ϵ R/ c <  x ≤ d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, incluindo c e excluindo d.


Vamos para mais um exemplo numérico:

Representamos este intervalo aberto à esquerda e fechado à direita como ]1,6] (colchete voltado para fora, pois temos  uma "bolinha vazia" e colchete voltado para dentro, pois temos uma "bolinha cheia" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, excluindo o 1 e incluindo o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: ]1,6]= {x ϵ R/ 1<  x ≤ 6}

Nesta notação temos o símbolos maior e menor ou igual, pois na representação geométrica (no desenho) temos um número representado por "bolinha vazia" e outro número representado por "bolinha cheia".




Então, meu caro se você entendeu como usamos os colchetes do intervalo, os símbolos de maior ou menor, e maior ou igual ou menor ou igual diante do tipo de "bolinhas" que temos na representação geométrica. Você entendeu tudinho! Para quem está "mais perdido que cebola em salada de fruta" (frase de uma amiga minha hahaha), eu vou fazer um resuminho para você se organizar:


Intervalo fechado (Duas "bolinhas cheias"): Representamos o intervalo com os colchetes assim  [  ]  e na notação usamos os símbolos de ≤ ou ≥

Intervalo aberto (Duas "bolinhas vazias"): Representamos o intervalo com os colchetes assim ]  [ e na notação usamos os símbolos de < ou >

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (Uma "bolinha cheia" e outra "bolinha vazia"): Representamos o intervalo com os colchetes assim [ [ e na notação usamos os símbolos ≤ ou ≥ e < ou >.

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita ( Uma "bolinha vazia" e outra "bolinha cheia"): Representamos o intervalo com os colchetes assim ]  ] e na notação usamos os símbolos de < ou > e ≤ ou ≥.


Para aprofundar um pouquinho vamos falar sobre os intervalos indicados pelo símbolo infinito. 

Vocês podem estar pensando "Nossa, mas para quê isso?". Mas, saibam que quanto mais a gente souber sobre um assunto é melhor. E se entenderam os processos anteriores, fica muito mais fácil de entender este que irei apresentar.

• Intervalos indicados pelo símbolo ∞ (infinito)

Notação: ]c, + ∞[ = {x ϵ R/ x>c}

Observe que aqui temos um intervalo que vai de um extremo c (que pode ser qualquer número, que não estará incluso, pois usou-se bolinha "vazia") e envolve todos os números reais maiores que ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Notação: ]- ∞, c] = {x ϵ R/ x<c}


Observe que aqui temos um intervalo que vai até um extremo c (que pode ser qualquer número, que não estará incluso, pois usou-se bolinha "vazia") e envolve todos os números reais menores que ele (destacados em vermelho que tendem a - ∞)

Notação: [c, + ∞[ = {x ϵ R/ x≥c}


Observe que aqui temos um intervalo que vai de um extremo c (que pode ser qualquer número, que estará incluso, pois usou-se bolinha "cheia") e envolve todos os números reais maiores ou igual a ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Notação: [c, - ∞[ = {x ϵ R/ x ≤ c}

Observe que aqui temos um intervalo que vai até um extremo c (que pode ser qualquer número, que estará incluso, pois usou-se bolinha "cheia") e envolve todos os números reais menores ou igual a ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Observe que um intervalo também pode ir de ]- ∞, + ∞[, englobando assim o conjunto dos números Reais:

Notação:  ]- ∞, + ∞[ = R

Observação: O intervalo que tem a indicação do infinito é sempre aberto.

REFERÊNCIAS:

SILVA, Claudio Xavier da; BARRETO, Benigno Filho. Matemática aula por aula. 2. ed. renov. São Paulo: FTD, 2005.