CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Inteiros (Z)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Inteiros (Z)

Os números inteiros são representados por Z. E como vimos, os números naturais não são capazes de solucionar todos os problemas do contexto e da Matemática. Agora vamos entender quais números pertencem aos inteiros:

Z = {...-4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Todos os números naturais são inteiros

Os números inteiros são formados pelos números negativos que são precedidos do sinal de (-); pelos números positivos que são precedidos pelo sinal de (+) ou de nenhum sinal; e pelo número zero que não é positivo e nem negativo. 

E a partir dos números inteiros, podemos ter outras representações dentro do seu conjunto:

Z* ( Conjuntos dos inteiros não-nulos) : {...-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Z ₊^* ( Conjuntos dos inteiros positivos e não-nulos) : { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Z -^*  ( Conjuntos dos inteiros negativos e não-nulos) : { ...-6,-5,-4,-3,-2,-1}

Z ₊  ( Conjuntos dos inteiros não-negativos) : { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Z - ( Conjuntos dos inteiros não-positivos): { ...-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}

RETA NUMÉRICA DOS NÚMEROS INTEIROS 

Fonte: Infoescola (https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/)

A reta numérica é uma representação geométrica, no nosso caso dos números inteiros. Observe o seguinte:

A) A reta, divide esta representação numa mesma unidade de medida de comprimento. Cada número inteiro está associado a um único ponto da reta numérica inteira.

B) O ponto zero é chamado de Origem (O).

C) A direita da Origem temos os números positivos ( representados na cor azul). Estes números são dispostos na reta em ordem crescente, isso é, do menor número para o maior.

D) A esquerda da Origem  temos os números negativos (representados na cor vermelha). Estes números são dispostos na reta em ordem decrescente, isso é, do maior para o menor. 

E) Os números inteiros crescem da esquerda para a direita, isto é, um número à esquerda é sempre menor que um número à direita.

Observações:  Os números negativos são menores que zero.

MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO

O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é distância a que esse número se encontra da origem e é representado pelo símbolo I I.

Observe a reta numérica anterior e localize o ponto -4. Veja que ele dista da origem 4 unidades

Agora, localize o ponto 4. Veja que ele também dista da origem 4 unidades. 

Logo, o módulo ou valor absoluto de -4 e 4 é 4 (pois, está é a distância de ambos até a origem). Matematicamente, temos:

I-4I = 4

I4I= 4

A partir disso, temos que dois números que possuem o mesmo módulo (ou que estão a mesma distância da origem) são chamados de simétricos ou opostos.

Observações:  O módulo de um número é definido como uma distância e, portanto, não pode ser negativo. Assim, o valor do módulo é sempre maior ou igual a zero.

 RELAÇÃO DE ORDEM NOS NÚMEROS INTEIROS

 Ao estabelecer uma relação de ordem entre dois números, identificamos se eles são iguais, ou qual deles é maior.

Dados dois números representados na reta numérica, o número maior é o que estiver à direita do outro. Da mesma maneira, é menor o número que estive à esquerda do outro.

Observe na reta numérica dada anteriormente alguns exemplos:

-4<1

-5<-3

0>-1

3>0

5> 4

Assim:

• Dados dois números positivos, é maior aquele que tiver o maior módulo. Da mesma forma, é menor o que tiver menor módulo.

Exemplos:

5> 4

3>2

• Qualquer número positivo é maior que zero, pois qualquer número positivo está à direita de zero.
• Qualquer número negativo é menor que zero, pois qualquer número positivo está à esquerda de zero.

Exemplos:

0>-1

3>0

0<1

-5<0

• Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.

Exemplos:

-4<1

5>-2

• Dado dois números negativos, é maior aquele que tiver o menor módulo; da mesma maneira, é menor aquele que tiver o maior módulo. Ou de maneira mais simplificada, ao comparar dois números negativos, será maior aquele que estiver mais próximo de zero. 

Exemplos:

-5<-3

-4<-2

 OPERAÇÕES COM OS INTEIROS 

• ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

É importante frisar que quando nos depararmos, por exemplo, com:

+(+8)= +8 ou 8
+(-8) = -8 
-(+8) = -8 
-(-8) = +8 ou 8

Na adição, temos as seguintes situações:

• Quando somarmos números de mesmo sinal, somamos os números e conservarmos o sinal.

(+5)+(+8) = +5+8=+13 ou 13
(-3) + (-4)= -3 -4= -7

• Quando somarmos números de sinais diferentes, subtraímos os números e conservarmos o sinal daquele que tiver o maior módulo.

(+6) + (-7)=+6 -7= -1 
Módulo de +6 é +6 ou 6
Módulo de -7 é +7 ou 7
Logo, o módulo de -7 é MAIOR que o módulo de +6

(-9) +(+14)= -9+14= 5
Módulo de -9 é +9 ou 9
Módulo de +14 é +14 ou 14
Logo, o módulo de +14 é MAIOR que o módulo de -9


Na subtração, temos as seguintes situações (que recaem em situações que nos deparamos na adição).

(+8) - (+9) = +8 - 9= -1

(-7) - (-16) = -7 + 16= +9

(+3) - (-5) = +3 +5 = +8

(-32) - (+30)= -32 - 30 = -52


Observações: A soma de dois números opostos é sempre zero. 
(+5) +(-5) = +5-5 =0
(-1000) + (+1000) = -1000+1000 =0 

• MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

É importante frisar que quando nos depararmos com multiplicação ou divisão de sinais:

+.+ ou +/+ = +
-.- ou -/- = +
+.- ou +/- = -
-.+ ou -/+ = -

Assim, multiplicando ou dividindo sinais iguais obtemos como resultado sinal positivo (+), enquanto que multiplicando ou dividindo sinais diferentes obtemos como resultado sinal negativo (-).

Na multiplicação:
(-10). (-4) = +40
(+75). (-3) = -225
(+95).(+1) = +95
(-1000).(+10) = -10.000

Na divisão:
(+56)/(+7)= +8
(-8)/(-4) = +2
(-96)/(+12) = -8
(+80)/(-2) = - 40

• POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Vamos conhecer algumas propriedades dos números inteiros 

1. Existem infinitos números negativos e positivos.

•  Portanto, não é possível determinar nem o menor e nem o maior inteiro.

2. Todo número inteiro tem um SUCESSOR (lembrando que sucessor é aquele número que vem depois, isto é, tem sempre uma unidade a mais do número determinado).

• Qual o sucessor de -85? R: -84 (-85+1)
• Qual o sucessor de 875? R:876 (875+1)

3.Todo número natural, com exceção do zero tem um ANTECESSOR (lembrando que antecessor é aquele número que vem antes,isto é, tem sempre uma unidade a menos do número determinado).

• Qual o antecessor de -6?R: -7 (-6-1)
• Qual o antecessor de 87?R: 86 (87-1)

4. A soma e a subtração de dois números inteiros sempre é um número inteiro.

• (+70) + (+41) = 111
• (-8542)+ (+875) = 7.667
• (-987) - (-900) = -87
• (+56) - (+100)= 156

5. O produto de dois números inteiros sempre é um número inteiro.

• (+7) . (+40) = 280
• (-852) . (+5) = - 4260

Dizemos que a adição, subtração e multiplicação são operações fechadas dentro dos conjuntos inteiros, isto é, que realizando com dois números inteiros quaisquer soma, diferença e multiplicação  o resultado é igual a um número inteiro.

Observe: 

8/5=1,6

2^-2= 1/4

Ö5=2,236...

Percebemos, que ao realizar divisão , potenciação e radiciação com números inteiros nem sempre obtemos outros números inteiros. Assim, os números inteiros não são suficientes para resolver todos os problemas do dia-a-dia, científicos e matemáticos.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. 3. ed. renovada - São Paulo: Editora Brasil, 2012 (Coleção Praticando Matemática)