CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Racionais (Q)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles números que podem ser representados na forma a/b, sendo a e b números inteiros e b≠0.

Desse modo, os números obtidos pela divisão de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais que é representado por Q (que vem da palavra quociente – resultado de uma divisão)

Todos número inteiro é racional.

REPRESENTAÇÃO NA FORMA FRACIONÁRIA E FORMA DECIMAL

Um número racional pode ser escrito na forma de número decimal. 

Observe os exemplos:

7/10 =0,7

4/5=0,8

17/8=2,125

As frações acima foram representadas na forma decima FINITA.

Observe outros exemplos:

5/9 =0,555...              Período: 5

14/6=4,666...             Período:6

12/33=0,3636...         Período:36

As frações acima foram representadas na forma decimal INFINITA E PERIÓDICA o que chamamos de DÍZIMAS PERIÓDICAS ( no qual um período - ou seja, um determinado número da casa decimal- se repete por infinitas vezes).

Concluí-se que todo número racional pode ser representado por número decimal finito ou por dízima periódica.

REPRESENTAÇÃO DOS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica. E observamos que entre dois números inteiros há infinitos números racionais.

Fonte: https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/

ESCREVENDO DECIMAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DECIMAL

Considere os exemplos abaixo:

Para a transformarmos os números abaixo em frações decimais basta estruturar uma fração com numerador correspondente ao número decimal (sem vírgula) e no denominador colocar a unidade 1 seguida de tantos zeros quantas forme as casas decimais do número dado.

0,8 = 8/10

0, 86=8/100

0,897 = 897/1.000

1258,4 =12584/10

13,125= 13.125/1.000

Porcentagem

A porcentagem é uma fração centesimal, isto é, de denominador 100. Observe os exemplos:

5% = 5/100

85%=85/100

E para fazer cálculos envolvendo a porcentagem?

Basta transformar a porcentagem em uma fração centesimal trocar a preposição de por multiplicação e resolver. Observe as situações:

        50% de 100 =  50/100 . 100 = 50

  75% de 252 = 75/100 . 252 = 189

Quando tivermos por exemplo 0,5% podemos dividir 0,5 por 100 e colocar o seu valor unitário:

 0,5% de 45 = 0,005. 45 = 0,225

ESCREVENDO DÍZIMAS PERIÓDICAS NA FORMA DE FRAÇÃO GERATRIZ

A fração geratriz é a fração que dá origem a dízima periódica. 

Há opções na hora de transformar uma dízima periódica em fração geratriz. Mas aqui vou apresentar um método prático e simples. 

Mas, antes é necessário a gente pontuar as diferenças existentes entre os tipos de dízimas periódicas que podem ser : simples ou compostas

Dízima periódica simples

Neste tipo de dízimas periódicas, após a vírgula já vêm o período.

Exemplos:

58,222...   Período: 2

3,965965965...  Período:965

0,101010...   Período:10

0,111...  Período:1

Dízima periódica compostas

Neste tipo de dízimas periódicas, após a vírgula vem o antiperíodo (atraso de casa) e posteriormente vêm o período.

Exemplos:

87,124545...   Antiperíodo:12     Período: 45

9,8111...    Antiperíodo:8            Período:1

0,123474747...  Antiperíodo:123 Período:47

Como encontrar a partir das dízimas periódicas das frações geratrizes?

Considere: 

Exemplo 1: 0,444...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período e no denominador um 9 para número que forma o período. Desse modo temos:

0,444... = 4/9

Exemplo 2: 0,987987...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período e no denominador um 9 para cada número que forma o período. Desse modo temos:

0,987987...=987/999

Exemplo 3: 5,6868...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira acrescida do período (sem vírgula) menos a parte inteira. E no denominador um 9 para cada número que forma o período.

 5,6868... = 568-5/99 = 563/99

Exemplo 4: 0,7555...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o antiperíodo acrescido do período (respectivamente e sem vírgula) menos o antiperíodo. E no denominador um 9 para cada número que forma o período e acrescido de um 0 para cada antiperíodo. Desse modo temos:

0,7555...= 75-7/9=68/90

Exemplo 5: 78,49393...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira acrescida do antiperíodo e período (respectivamente e sem vírgula) menos a parte inteira adicionado o antiperíodo na ordem. E no denominador um 9 para cada número que forma o período acrescido de um 0 para cada antiperíodo.Desse modo temos:

78,469393...= 784693-7846/9900 =776847/9900

Exemplo 6: -0,12121... 

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período negativo e no denominador um 9 para número que forma o período. Desse modo temos:

-0,12121... = -121- (-1)/990 = -120/990

Exemplo 7: -7,9655...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira negativa acrescida do antiperíodo e período (respectivamente e sem vírgula) menos a parte inteira negativa adicionado o antiperíodo na ordem. E no denominador um 9 para cada número que forma o período acrescido de um 0 para cada antiperíodo. Desse modo temos:

-7,9655...= -7965 - (-796) / 900 = -7965+796/900= -7169/900

Veja algumas propriedades dos racionais:

1) Nos números racionais não é possível determinar nem o sucessor e nem o antecessor, pois entre dois números racionais por mais que estejam próximos há entre eles infinitas frações.

2) As operações fechadas para o conjunto dos racionais (isto é, ao operar dois números do conjunto obtemos como resultado um número que também pertence ao conjunto)  são: adição, subtração, multiplicação, divisão (exceto por zero) e potenciação. 

Observe: 

Ö2=1,41421...

Ö5=2,236...

Percebemos, que ao realizar a radiciação com números racionais nem sempre obtemos outros números racionais (observe que os números decimais são infinitos não-periódicos)

Assim, os números racionais não são suficientes para resolver todos os problemas do dia-a-dia, científicos e matemáticos.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. 3. ed. renovada - São Paulo: Editora Brasil, 2012 (Coleção Praticando Matemática)