Potenciação

ENSINO FUNDAMENTAL II E ENSINO MÉDIO

Potenciação 

A potenciação é uma das operações fundamentais da Matemática e compreendê-la é extremamente útil para o aprendizado futuro de outros conteúdos matemáticos.Pois, na Matemática tudo está interligado. 

Bora aprender mais um conteúdo!?

1) POTENCIAÇÃO: INTRODUÇÃO

2) REFLETINDO SOBRE POTENCIAÇÕES...

3) EXPOENTE ZERO E UM

4)LEITURA DE POTENCIAÇÕES

4.1 Ao quadrado



4.2 Ao cubo



4.3 Demais expoentes

5) PROBLEMAS RESOLVIDOS 

5. 1 EXEMPLO 1

5. 2 EXEMPLO 2



5. 3 EXEMPLO 3



5. 4 EXEMPLO 4





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CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Reais (R)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Reais (R)

O conjunto dos números reais é formado pela união do conjunto Q (conjunto dos números racionais) com o conjunto I (conjunto dos números irracionais).

Representação dos conjuntos numéricos através de diagramas:

Fonte:https://mundoeducacao.bol.uol.com.br/matematica/conjunto-dos-numeros-reais.htm

Perceba que o conjunto dos números irracionais é o complemento do conjunto dos números racionais em relação ao conjunto dos reais, e vice versa.

INTERVALOS REAIS 

Os intervalos rais são subconjuntos dos números reais. Serão caracterizados por desigualdades.

Considere dois números reais, c e d, sendo c<d. Os números reais c e d são denominados extremos dos intervalos. 

• Intervalo fechado

Notação:[c,d] = {x ϵ R/ c ≤ x ≤ d}

A este intervalo [c,d] pertencem todos os números compreendidos entre c e d, inclusive c e d.

Agora, você deve estar olhando isso pensando: "Nossa, como vou aprender isso!? É muito difícil". Calma, na matemática usamos letras para poder generalizar um raciocínio, mas se você tem dificuldade de compreendê-las segue um exemplo numérico.

Representamos este intervalo fechado como [1,6] (colchetes voltado para dentro, pois temos o que chamamos de "bolinhas cheias" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, incluindo o 1 e o 6. 

Escrevendo, bonito (haha) e matematicamente temos:

Notação: [1,6]= {x ϵ R/ 1 ≤ x ≤ 6}

Nesta notação temos o símbolos maior ou igual e menor ou igual, pois na representação geométrica (no desenho) temos os dois números representados por "bolinhas cheias".

É super simples, é só se atentar a esses detalhes. Não tem nada de impossível ou complexo. Para dinamizar nossa explicação vou continuar explicando os outros intervalos e dando um exemplo numérico. Ok?

Intervalo aberto 

Notação: ]c,d[ =  {x ϵ R/ c < x < d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, não incluindo nem c e nem d.

Observe um exemplo numérico:

Representamos este intervalo aberto como ]1,6[ (colchetes voltado para fora, pois temos o que chamamos de "bolinhas vazias" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, excluindo o 1 e o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: ]1,6[= {x ϵ R/ 1 < x < 6}

Nesta notação temos o símbolos maior e menor, pois na representação geométrica (no desenho) temos os dois números representados por "bolinhas vazias".

• Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita

 Notação: [c,d[ =  {x ϵ R/ c ≤  x < d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, incluindo c e excluindo d.

Observe um exemplo numérico:

Representamos este intervalo fechado à esquerda e aberto à direita como [1,6[ (colchete voltado para dentro, pois temos  uma "bolinha cheia" e colchete voltado para fora, pois temos uma "bolinha vazia" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, incluindo o 1 e excluindo o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: [1,6[= {x ϵ R/ 1 ≤  x < 6}

Nesta notação temos o símbolos maior ou igual e menor, pois na representação geométrica (no desenho) temos um número representado por "bolinha cheia" e outro número representado por "bolinha vazia".

E agora vamos para o último intervalo:

• Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita

Notação: ]c,d] =  {x ϵ R/ c <  x ≤ d}

A este intervalo pertencem todos os números compreendidos entre c e d, incluindo c e excluindo d.


Vamos para mais um exemplo numérico:

Representamos este intervalo aberto à esquerda e fechado à direita como ]1,6] (colchete voltado para fora, pois temos  uma "bolinha vazia" e colchete voltado para dentro, pois temos uma "bolinha cheia" no desenho acima), sendo que os elementos, isto é, os números que pertencem a ele são todos números reais entre 1 e 6, excluindo o 1 e incluindo o 6. 

Escrevendo, matematicamente temos:

Notação: ]1,6]= {x ϵ R/ 1<  x ≤ 6}

Nesta notação temos o símbolos maior e menor ou igual, pois na representação geométrica (no desenho) temos um número representado por "bolinha vazia" e outro número representado por "bolinha cheia".




Então, meu caro se você entendeu como usamos os colchetes do intervalo, os símbolos de maior ou menor, e maior ou igual ou menor ou igual diante do tipo de "bolinhas" que temos na representação geométrica. Você entendeu tudinho! Para quem está "mais perdido que cebola em salada de fruta" (frase de uma amiga minha hahaha), eu vou fazer um resuminho para você se organizar:


Intervalo fechado (Duas "bolinhas cheias"): Representamos o intervalo com os colchetes assim  [  ]  e na notação usamos os símbolos de ≤ ou ≥

Intervalo aberto (Duas "bolinhas vazias"): Representamos o intervalo com os colchetes assim ]  [ e na notação usamos os símbolos de < ou >

Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita (Uma "bolinha cheia" e outra "bolinha vazia"): Representamos o intervalo com os colchetes assim [ [ e na notação usamos os símbolos ≤ ou ≥ e < ou >.

Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita ( Uma "bolinha vazia" e outra "bolinha cheia"): Representamos o intervalo com os colchetes assim ]  ] e na notação usamos os símbolos de < ou > e ≤ ou ≥.


Para aprofundar um pouquinho vamos falar sobre os intervalos indicados pelo símbolo infinito. 

Vocês podem estar pensando "Nossa, mas para quê isso?". Mas, saibam que quanto mais a gente souber sobre um assunto é melhor. E se entenderam os processos anteriores, fica muito mais fácil de entender este que irei apresentar.

• Intervalos indicados pelo símbolo ∞ (infinito)

Notação: ]c, + ∞[ = {x ϵ R/ x>c}

Observe que aqui temos um intervalo que vai de um extremo c (que pode ser qualquer número, que não estará incluso, pois usou-se bolinha "vazia") e envolve todos os números reais maiores que ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Notação: ]- ∞, c] = {x ϵ R/ x<c}


Observe que aqui temos um intervalo que vai até um extremo c (que pode ser qualquer número, que não estará incluso, pois usou-se bolinha "vazia") e envolve todos os números reais menores que ele (destacados em vermelho que tendem a - ∞)

Notação: [c, + ∞[ = {x ϵ R/ x≥c}


Observe que aqui temos um intervalo que vai de um extremo c (que pode ser qualquer número, que estará incluso, pois usou-se bolinha "cheia") e envolve todos os números reais maiores ou igual a ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Notação: [c, - ∞[ = {x ϵ R/ x ≤ c}

Observe que aqui temos um intervalo que vai até um extremo c (que pode ser qualquer número, que estará incluso, pois usou-se bolinha "cheia") e envolve todos os números reais menores ou igual a ele (destacados em vermelho que tendem a + ∞)

Observe que um intervalo também pode ir de ]- ∞, + ∞[, englobando assim o conjunto dos números Reais:

Notação:  ]- ∞, + ∞[ = R

Observação: O intervalo que tem a indicação do infinito é sempre aberto.

REFERÊNCIAS:

SILVA, Claudio Xavier da; BARRETO, Benigno Filho. Matemática aula por aula. 2. ed. renov. São Paulo: FTD, 2005.

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Irracionais (I)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Irracionais (I)

Antes da gente adentrar sobre os números irracionais é interessante salientar que na época que foram descobertos dizem que estes geraram muita revolta entre os estudiosos, especialmente na Escola Pitagórica, em que esta seita alimentava um princípio que apenas os NÚMEROS RACIONAIS regiam o Universo e quando um dos membros (Hipaso de Metaponto) se deparou com uma situação em que estes números sagrados não podiam resolver, tragicamente e misteriosamente apareceu jogado em mar aberto no litoral da Grécia.

Vou deixar um link aqui para quem quiser saber mais sobre esta possível história: 

https://www.bbc.com/portuguese/geral-47436677?ocid=socialflow_facebook&fbclid=IwAR1LxQRQFJFieNPNmoCoYBnxkNOMu0KvAYGjkrAJFErFFugvAMKmn-O791g

O problema que Hipaso de Metaponto se deparou foi um quadrado de unidade 1 e ele procurava a medida de sua diagonal e ironicamente o Teorema de Pitágoras revelou algo que mudaria sua vida para sempre: a Ö2. Em que mais tarde este número e tantos outros com suas características seriam estudados e dariam origem há um dos conjuntos numéricos importantes da Matemática: O Conjunto dos Irracionais.

Os números irracionais são formados pelas representações infinitas e não periódicas (positivas e negativas). Portanto, não podem ser escritos na forma a/b, com b ≠ 0. 

Exemplos:

Ö2 = 1,41421356...

-Ö3= -1,7320508...

-3,152789456...

e (Constante de Euler)=2,7182818...

π (Pi)=3,1415965359...

ϕ (Phi / número de ouro)=1,618003987...

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 

Podemos representar os irracionais na forma de infinitos e não-periódicos ou na forma de raízes.

 LOCALIZAÇÃO GEOMÉTRICA DOS IRRACIONAIS

É fato que se analisarmos cuidadosamente a reta numérica dos racionais iremos nos deparar com "brechas" onde possivelmente não há números racionais deixando a subentender que há outros números, os números irracionais. 

Aí surge a pergunta como consigo localizar os irracionais na forma de radicais na reta numérica?

Para isso ,vamos explicar um procedimento para um melhor entendimento. Olha até rimou! (hahaha)

Vou utilizar o Geogebra (um software e aplicativo gratuito muito bom para visualização de situações que envolve geometria).

Observe que a partir de um quadrado de lado 1 e diagonal Ö2 (segmento AC), transferimos a medida de Ö2  (entendida como a hipotenusa dos triângulos obtidos dentro do quadrado) para a reta numérica (AE), traçamos um triângulo AEF e transferimos a medida da hipotenusa  AF para a reta numérica no segmento AG ( ou para o cateto do triângulo AGH), seguimos nesse raciocínio para obtermos as demais raízes não-exatas que configuram números irracionais.

Logicamente, aqui eu apenas demonstrei uma forma de localização geométrica dos números irracionais que representam neste exemplo apenas valores aproximados, mas facilitam nossa visualização.



Segundo Mello (2004) os números irracionais apresenta algumas observações:

"1) se n é um natural não quadrado perfeito, então sua raiz quadrada é irracional;

2) a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão de um número racional por um número irracional resulta sempre um número irracional (excetuando-se produtos e divisões com o número zero);

3) os irracionais não são fechados em relação à cada uma das quatro operações."

E relativo a potenciação, os irracionais também não são fechados.

REFERÊNCIAS

MELLO, José Luiz Pastore. Conjuntos numéricos e propriedades de fechamento. Folha de São Paulo.2004. Disponível em: <https://www1.folha.uol.com.br/fsp/fovest/fo0912200407.htm> Acesso em: 28 mar. 2020

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Racionais (Q)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles números que podem ser representados na forma a/b, sendo a e b números inteiros e b≠0.

Desse modo, os números obtidos pela divisão de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais que é representado por Q (que vem da palavra quociente – resultado de uma divisão)

Todos número inteiro é racional.

REPRESENTAÇÃO NA FORMA FRACIONÁRIA E FORMA DECIMAL

Um número racional pode ser escrito na forma de número decimal. 

Observe os exemplos:

7/10 =0,7

4/5=0,8

17/8=2,125

As frações acima foram representadas na forma decima FINITA.

Observe outros exemplos:

5/9 =0,555...              Período: 5

14/6=4,666...             Período:6

12/33=0,3636...         Período:36

As frações acima foram representadas na forma decimal INFINITA E PERIÓDICA o que chamamos de DÍZIMAS PERIÓDICAS ( no qual um período - ou seja, um determinado número da casa decimal- se repete por infinitas vezes).

Concluí-se que todo número racional pode ser representado por número decimal finito ou por dízima periódica.

REPRESENTAÇÃO DOS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica. E observamos que entre dois números inteiros há infinitos números racionais.

Fonte: https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/

ESCREVENDO DECIMAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DECIMAL

Considere os exemplos abaixo:

Para a transformarmos os números abaixo em frações decimais basta estruturar uma fração com numerador correspondente ao número decimal (sem vírgula) e no denominador colocar a unidade 1 seguida de tantos zeros quantas forme as casas decimais do número dado.

0,8 = 8/10

0, 86=8/100

0,897 = 897/1.000

1258,4 =12584/10

13,125= 13.125/1.000

Porcentagem

A porcentagem é uma fração centesimal, isto é, de denominador 100. Observe os exemplos:

5% = 5/100

85%=85/100

E para fazer cálculos envolvendo a porcentagem?

Basta transformar a porcentagem em uma fração centesimal trocar a preposição de por multiplicação e resolver. Observe as situações:

        50% de 100 =  50/100 . 100 = 50

  75% de 252 = 75/100 . 252 = 189

Quando tivermos por exemplo 0,5% podemos dividir 0,5 por 100 e colocar o seu valor unitário:

 0,5% de 45 = 0,005. 45 = 0,225

ESCREVENDO DÍZIMAS PERIÓDICAS NA FORMA DE FRAÇÃO GERATRIZ

A fração geratriz é a fração que dá origem a dízima periódica. 

Há opções na hora de transformar uma dízima periódica em fração geratriz. Mas aqui vou apresentar um método prático e simples. 

Mas, antes é necessário a gente pontuar as diferenças existentes entre os tipos de dízimas periódicas que podem ser : simples ou compostas

Dízima periódica simples

Neste tipo de dízimas periódicas, após a vírgula já vêm o período.

Exemplos:

58,222...   Período: 2

3,965965965...  Período:965

0,101010...   Período:10

0,111...  Período:1

Dízima periódica compostas

Neste tipo de dízimas periódicas, após a vírgula vem o antiperíodo (atraso de casa) e posteriormente vêm o período.

Exemplos:

87,124545...   Antiperíodo:12     Período: 45

9,8111...    Antiperíodo:8            Período:1

0,123474747...  Antiperíodo:123 Período:47

Como encontrar a partir das dízimas periódicas das frações geratrizes?

Considere: 

Exemplo 1: 0,444...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período e no denominador um 9 para número que forma o período. Desse modo temos:

0,444... = 4/9

Exemplo 2: 0,987987...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período e no denominador um 9 para cada número que forma o período. Desse modo temos:

0,987987...=987/999

Exemplo 3: 5,6868...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira acrescida do período (sem vírgula) menos a parte inteira. E no denominador um 9 para cada número que forma o período.

 5,6868... = 568-5/99 = 563/99

Exemplo 4: 0,7555...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o antiperíodo acrescido do período (respectivamente e sem vírgula) menos o antiperíodo. E no denominador um 9 para cada número que forma o período e acrescido de um 0 para cada antiperíodo. Desse modo temos:

0,7555...= 75-7/9=68/90

Exemplo 5: 78,49393...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira acrescida do antiperíodo e período (respectivamente e sem vírgula) menos a parte inteira adicionado o antiperíodo na ordem. E no denominador um 9 para cada número que forma o período acrescido de um 0 para cada antiperíodo.Desse modo temos:

78,469393...= 784693-7846/9900 =776847/9900

Exemplo 6: -0,12121... 

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período negativo e no denominador um 9 para número que forma o período. Desse modo temos:

-0,12121... = -121- (-1)/990 = -120/990

Exemplo 7: -7,9655...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira negativa acrescida do antiperíodo e período (respectivamente e sem vírgula) menos a parte inteira negativa adicionado o antiperíodo na ordem. E no denominador um 9 para cada número que forma o período acrescido de um 0 para cada antiperíodo. Desse modo temos:

-7,9655...= -7965 - (-796) / 900 = -7965+796/900= -7169/900

Veja algumas propriedades dos racionais:

1) Nos números racionais não é possível determinar nem o sucessor e nem o antecessor, pois entre dois números racionais por mais que estejam próximos há entre eles infinitas frações.

2) As operações fechadas para o conjunto dos racionais (isto é, ao operar dois números do conjunto obtemos como resultado um número que também pertence ao conjunto)  são: adição, subtração, multiplicação, divisão (exceto por zero) e potenciação. 

Observe: 

Ö2=1,41421...

Ö5=2,236...

Percebemos, que ao realizar a radiciação com números racionais nem sempre obtemos outros números racionais (observe que os números decimais são infinitos não-periódicos)

Assim, os números racionais não são suficientes para resolver todos os problemas do dia-a-dia, científicos e matemáticos.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. 3. ed. renovada - São Paulo: Editora Brasil, 2012 (Coleção Praticando Matemática)