CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Irracionais (I)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Irracionais (I)

Antes da gente adentrar sobre os números irracionais é interessante salientar que na época que foram descobertos dizem que estes geraram muita revolta entre os estudiosos, especialmente na Escola Pitagórica, em que esta seita alimentava um princípio que apenas os NÚMEROS RACIONAIS regiam o Universo e quando um dos membros (Hipaso de Metaponto) se deparou com uma situação em que estes números sagrados não podiam resolver, tragicamente e misteriosamente apareceu jogado em mar aberto no litoral da Grécia.

Vou deixar um link aqui para quem quiser saber mais sobre esta possível história: 

https://www.bbc.com/portuguese/geral-47436677?ocid=socialflow_facebook&fbclid=IwAR1LxQRQFJFieNPNmoCoYBnxkNOMu0KvAYGjkrAJFErFFugvAMKmn-O791g

O problema que Hipaso de Metaponto se deparou foi um quadrado de unidade 1 e ele procurava a medida de sua diagonal e ironicamente o Teorema de Pitágoras revelou algo que mudaria sua vida para sempre: a Ö2. Em que mais tarde este número e tantos outros com suas características seriam estudados e dariam origem há um dos conjuntos numéricos importantes da Matemática: O Conjunto dos Irracionais.

Os números irracionais são formados pelas representações infinitas e não periódicas (positivas e negativas). Portanto, não podem ser escritos na forma a/b, com b ≠ 0. 

Exemplos:

Ö2 = 1,41421356...

-Ö3= -1,7320508...

-3,152789456...

e (Constante de Euler)=2,7182818...

π (Pi)=3,1415965359...

ϕ (Phi / número de ouro)=1,618003987...

REPRESENTAÇÃO DOS NÚMEROS IRRACIONAIS 

Podemos representar os irracionais na forma de infinitos e não-periódicos ou na forma de raízes.

 LOCALIZAÇÃO GEOMÉTRICA DOS IRRACIONAIS

É fato que se analisarmos cuidadosamente a reta numérica dos racionais iremos nos deparar com "brechas" onde possivelmente não há números racionais deixando a subentender que há outros números, os números irracionais. 

Aí surge a pergunta como consigo localizar os irracionais na forma de radicais na reta numérica?

Para isso ,vamos explicar um procedimento para um melhor entendimento. Olha até rimou! (hahaha)

Vou utilizar o Geogebra (um software e aplicativo gratuito muito bom para visualização de situações que envolve geometria).

Observe que a partir de um quadrado de lado 1 e diagonal Ö2 (segmento AC), transferimos a medida de Ö2  (entendida como a hipotenusa dos triângulos obtidos dentro do quadrado) para a reta numérica (AE), traçamos um triângulo AEF e transferimos a medida da hipotenusa  AF para a reta numérica no segmento AG ( ou para o cateto do triângulo AGH), seguimos nesse raciocínio para obtermos as demais raízes não-exatas que configuram números irracionais.

Logicamente, aqui eu apenas demonstrei uma forma de localização geométrica dos números irracionais que representam neste exemplo apenas valores aproximados, mas facilitam nossa visualização.



Segundo Mello (2004) os números irracionais apresenta algumas observações:

"1) se n é um natural não quadrado perfeito, então sua raiz quadrada é irracional;

2) a adição, a subtração, a multiplicação e a divisão de um número racional por um número irracional resulta sempre um número irracional (excetuando-se produtos e divisões com o número zero);

3) os irracionais não são fechados em relação à cada uma das quatro operações."

E relativo a potenciação, os irracionais também não são fechados.

REFERÊNCIAS

MELLO, José Luiz Pastore. Conjuntos numéricos e propriedades de fechamento. Folha de São Paulo.2004. Disponível em: <https://www1.folha.uol.com.br/fsp/fovest/fo0912200407.htm> Acesso em: 28 mar. 2020

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Racionais (Q)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Racionais (Q)

Os números racionais são todos aqueles números que podem ser representados na forma a/b, sendo a e b números inteiros e b≠0.

Desse modo, os números obtidos pela divisão de dois números inteiros formam o conjunto dos números racionais que é representado por Q (que vem da palavra quociente – resultado de uma divisão)

Todos número inteiro é racional.

REPRESENTAÇÃO NA FORMA FRACIONÁRIA E FORMA DECIMAL

Um número racional pode ser escrito na forma de número decimal. 

Observe os exemplos:

7/10 =0,7

4/5=0,8

17/8=2,125

As frações acima foram representadas na forma decima FINITA.

Observe outros exemplos:

5/9 =0,555...              Período: 5

14/6=4,666...             Período:6

12/33=0,3636...         Período:36

As frações acima foram representadas na forma decimal INFINITA E PERIÓDICA o que chamamos de DÍZIMAS PERIÓDICAS ( no qual um período - ou seja, um determinado número da casa decimal- se repete por infinitas vezes).

Concluí-se que todo número racional pode ser representado por número decimal finito ou por dízima periódica.

REPRESENTAÇÃO DOS RACIONAIS NA RETA NUMÉRICA

Os números racionais podem ser representados por pontos na reta numérica. E observamos que entre dois números inteiros há infinitos números racionais.

Fonte: https://www.infoescola.com/matematica/numeros-racionais/

ESCREVENDO DECIMAIS NA FORMA DE FRAÇÃO DECIMAL

Considere os exemplos abaixo:

Para a transformarmos os números abaixo em frações decimais basta estruturar uma fração com numerador correspondente ao número decimal (sem vírgula) e no denominador colocar a unidade 1 seguida de tantos zeros quantas forme as casas decimais do número dado.

0,8 = 8/10

0, 86=8/100

0,897 = 897/1.000

1258,4 =12584/10

13,125= 13.125/1.000

Porcentagem

A porcentagem é uma fração centesimal, isto é, de denominador 100. Observe os exemplos:

5% = 5/100

85%=85/100

E para fazer cálculos envolvendo a porcentagem?

Basta transformar a porcentagem em uma fração centesimal trocar a preposição de por multiplicação e resolver. Observe as situações:

        50% de 100 =  50/100 . 100 = 50

  75% de 252 = 75/100 . 252 = 189

Quando tivermos por exemplo 0,5% podemos dividir 0,5 por 100 e colocar o seu valor unitário:

 0,5% de 45 = 0,005. 45 = 0,225

ESCREVENDO DÍZIMAS PERIÓDICAS NA FORMA DE FRAÇÃO GERATRIZ

A fração geratriz é a fração que dá origem a dízima periódica. 

Há opções na hora de transformar uma dízima periódica em fração geratriz. Mas aqui vou apresentar um método prático e simples. 

Mas, antes é necessário a gente pontuar as diferenças existentes entre os tipos de dízimas periódicas que podem ser : simples ou compostas

Dízima periódica simples

Neste tipo de dízimas periódicas, após a vírgula já vêm o período.

Exemplos:

58,222...   Período: 2

3,965965965...  Período:965

0,101010...   Período:10

0,111...  Período:1

Dízima periódica compostas

Neste tipo de dízimas periódicas, após a vírgula vem o antiperíodo (atraso de casa) e posteriormente vêm o período.

Exemplos:

87,124545...   Antiperíodo:12     Período: 45

9,8111...    Antiperíodo:8            Período:1

0,123474747...  Antiperíodo:123 Período:47

Como encontrar a partir das dízimas periódicas das frações geratrizes?

Considere: 

Exemplo 1: 0,444...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período e no denominador um 9 para número que forma o período. Desse modo temos:

0,444... = 4/9

Exemplo 2: 0,987987...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período e no denominador um 9 para cada número que forma o período. Desse modo temos:

0,987987...=987/999

Exemplo 3: 5,6868...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira acrescida do período (sem vírgula) menos a parte inteira. E no denominador um 9 para cada número que forma o período.

 5,6868... = 568-5/99 = 563/99

Exemplo 4: 0,7555...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o antiperíodo acrescido do período (respectivamente e sem vírgula) menos o antiperíodo. E no denominador um 9 para cada número que forma o período e acrescido de um 0 para cada antiperíodo. Desse modo temos:

0,7555...= 75-7/9=68/90

Exemplo 5: 78,49393...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira acrescida do antiperíodo e período (respectivamente e sem vírgula) menos a parte inteira adicionado o antiperíodo na ordem. E no denominador um 9 para cada número que forma o período acrescido de um 0 para cada antiperíodo.Desse modo temos:

78,469393...= 784693-7846/9900 =776847/9900

Exemplo 6: -0,12121... 

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos o período negativo e no denominador um 9 para número que forma o período. Desse modo temos:

-0,12121... = -121- (-1)/990 = -120/990

Exemplo 7: -7,9655...

Para determinarmos a fração geratriz desta dízima periódica iremos estruturar uma fração em que no numerador colocamos a parte inteira negativa acrescida do antiperíodo e período (respectivamente e sem vírgula) menos a parte inteira negativa adicionado o antiperíodo na ordem. E no denominador um 9 para cada número que forma o período acrescido de um 0 para cada antiperíodo. Desse modo temos:

-7,9655...= -7965 - (-796) / 900 = -7965+796/900= -7169/900

Veja algumas propriedades dos racionais:

1) Nos números racionais não é possível determinar nem o sucessor e nem o antecessor, pois entre dois números racionais por mais que estejam próximos há entre eles infinitas frações.

2) As operações fechadas para o conjunto dos racionais (isto é, ao operar dois números do conjunto obtemos como resultado um número que também pertence ao conjunto)  são: adição, subtração, multiplicação, divisão (exceto por zero) e potenciação. 

Observe: 

Ö2=1,41421...

Ö5=2,236...

Percebemos, que ao realizar a radiciação com números racionais nem sempre obtemos outros números racionais (observe que os números decimais são infinitos não-periódicos)

Assim, os números racionais não são suficientes para resolver todos os problemas do dia-a-dia, científicos e matemáticos.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. 3. ed. renovada - São Paulo: Editora Brasil, 2012 (Coleção Praticando Matemática)

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Inteiros (Z)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Inteiros (Z)

Os números inteiros são representados por Z. E como vimos, os números naturais não são capazes de solucionar todos os problemas do contexto e da Matemática. Agora vamos entender quais números pertencem aos inteiros:

Z = {...-4, -3, -2, -1, 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Todos os números naturais são inteiros

Os números inteiros são formados pelos números negativos que são precedidos do sinal de (-); pelos números positivos que são precedidos pelo sinal de (+) ou de nenhum sinal; e pelo número zero que não é positivo e nem negativo. 

E a partir dos números inteiros, podemos ter outras representações dentro do seu conjunto:

Z* ( Conjuntos dos inteiros não-nulos) : {...-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Z ₊^* ( Conjuntos dos inteiros positivos e não-nulos) : { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Z -^*  ( Conjuntos dos inteiros negativos e não-nulos) : { ...-6,-5,-4,-3,-2,-1}

Z ₊  ( Conjuntos dos inteiros não-negativos) : { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Z - ( Conjuntos dos inteiros não-positivos): { ...-6,-5,-4,-3,-2,-1,0}

RETA NUMÉRICA DOS NÚMEROS INTEIROS 

Fonte: Infoescola (https://www.infoescola.com/matematica/numeros-inteiros/)

A reta numérica é uma representação geométrica, no nosso caso dos números inteiros. Observe o seguinte:

A) A reta, divide esta representação numa mesma unidade de medida de comprimento. Cada número inteiro está associado a um único ponto da reta numérica inteira.

B) O ponto zero é chamado de Origem (O).

C) A direita da Origem temos os números positivos ( representados na cor azul). Estes números são dispostos na reta em ordem crescente, isso é, do menor número para o maior.

D) A esquerda da Origem  temos os números negativos (representados na cor vermelha). Estes números são dispostos na reta em ordem decrescente, isso é, do maior para o menor. 

E) Os números inteiros crescem da esquerda para a direita, isto é, um número à esquerda é sempre menor que um número à direita.

Observações:  Os números negativos são menores que zero.

MÓDULO DE UM NÚMERO INTEIRO

O módulo ou valor absoluto de um número inteiro é distância a que esse número se encontra da origem e é representado pelo símbolo I I.

Observe a reta numérica anterior e localize o ponto -4. Veja que ele dista da origem 4 unidades

Agora, localize o ponto 4. Veja que ele também dista da origem 4 unidades. 

Logo, o módulo ou valor absoluto de -4 e 4 é 4 (pois, está é a distância de ambos até a origem). Matematicamente, temos:

I-4I = 4

I4I= 4

A partir disso, temos que dois números que possuem o mesmo módulo (ou que estão a mesma distância da origem) são chamados de simétricos ou opostos.

Observações:  O módulo de um número é definido como uma distância e, portanto, não pode ser negativo. Assim, o valor do módulo é sempre maior ou igual a zero.

 RELAÇÃO DE ORDEM NOS NÚMEROS INTEIROS

 Ao estabelecer uma relação de ordem entre dois números, identificamos se eles são iguais, ou qual deles é maior.

Dados dois números representados na reta numérica, o número maior é o que estiver à direita do outro. Da mesma maneira, é menor o número que estive à esquerda do outro.

Observe na reta numérica dada anteriormente alguns exemplos:

-4<1

-5<-3

0>-1

3>0

5> 4

Assim:

• Dados dois números positivos, é maior aquele que tiver o maior módulo. Da mesma forma, é menor o que tiver menor módulo.

Exemplos:

5> 4

3>2

• Qualquer número positivo é maior que zero, pois qualquer número positivo está à direita de zero.
• Qualquer número negativo é menor que zero, pois qualquer número positivo está à esquerda de zero.

Exemplos:

0>-1

3>0

0<1

-5<0

• Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo.

Exemplos:

-4<1

5>-2

• Dado dois números negativos, é maior aquele que tiver o menor módulo; da mesma maneira, é menor aquele que tiver o maior módulo. Ou de maneira mais simplificada, ao comparar dois números negativos, será maior aquele que estiver mais próximo de zero. 

Exemplos:

-5<-3

-4<-2

 OPERAÇÕES COM OS INTEIROS 

• ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO

É importante frisar que quando nos depararmos, por exemplo, com:

+(+8)= +8 ou 8
+(-8) = -8 
-(+8) = -8 
-(-8) = +8 ou 8

Na adição, temos as seguintes situações:

• Quando somarmos números de mesmo sinal, somamos os números e conservarmos o sinal.

(+5)+(+8) = +5+8=+13 ou 13
(-3) + (-4)= -3 -4= -7

• Quando somarmos números de sinais diferentes, subtraímos os números e conservarmos o sinal daquele que tiver o maior módulo.

(+6) + (-7)=+6 -7= -1 
Módulo de +6 é +6 ou 6
Módulo de -7 é +7 ou 7
Logo, o módulo de -7 é MAIOR que o módulo de +6

(-9) +(+14)= -9+14= 5
Módulo de -9 é +9 ou 9
Módulo de +14 é +14 ou 14
Logo, o módulo de +14 é MAIOR que o módulo de -9


Na subtração, temos as seguintes situações (que recaem em situações que nos deparamos na adição).

(+8) - (+9) = +8 - 9= -1

(-7) - (-16) = -7 + 16= +9

(+3) - (-5) = +3 +5 = +8

(-32) - (+30)= -32 - 30 = -52


Observações: A soma de dois números opostos é sempre zero. 
(+5) +(-5) = +5-5 =0
(-1000) + (+1000) = -1000+1000 =0 

• MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO

É importante frisar que quando nos depararmos com multiplicação ou divisão de sinais:

+.+ ou +/+ = +
-.- ou -/- = +
+.- ou +/- = -
-.+ ou -/+ = -

Assim, multiplicando ou dividindo sinais iguais obtemos como resultado sinal positivo (+), enquanto que multiplicando ou dividindo sinais diferentes obtemos como resultado sinal negativo (-).

Na multiplicação:
(-10). (-4) = +40
(+75). (-3) = -225
(+95).(+1) = +95
(-1000).(+10) = -10.000

Na divisão:
(+56)/(+7)= +8
(-8)/(-4) = +2
(-96)/(+12) = -8
(+80)/(-2) = - 40

• POTENCIAÇÃO E RADICIAÇÃO

Vamos conhecer algumas propriedades dos números inteiros 

1. Existem infinitos números negativos e positivos.

•  Portanto, não é possível determinar nem o menor e nem o maior inteiro.

2. Todo número inteiro tem um SUCESSOR (lembrando que sucessor é aquele número que vem depois, isto é, tem sempre uma unidade a mais do número determinado).

• Qual o sucessor de -85? R: -84 (-85+1)
• Qual o sucessor de 875? R:876 (875+1)

3.Todo número natural, com exceção do zero tem um ANTECESSOR (lembrando que antecessor é aquele número que vem antes,isto é, tem sempre uma unidade a menos do número determinado).

• Qual o antecessor de -6?R: -7 (-6-1)
• Qual o antecessor de 87?R: 86 (87-1)

4. A soma e a subtração de dois números inteiros sempre é um número inteiro.

• (+70) + (+41) = 111
• (-8542)+ (+875) = 7.667
• (-987) - (-900) = -87
• (+56) - (+100)= 156

5. O produto de dois números inteiros sempre é um número inteiro.

• (+7) . (+40) = 280
• (-852) . (+5) = - 4260

Dizemos que a adição, subtração e multiplicação são operações fechadas dentro dos conjuntos inteiros, isto é, que realizando com dois números inteiros quaisquer soma, diferença e multiplicação  o resultado é igual a um número inteiro.

Observe: 

8/5=1,6

2^-2= 1/4

Ö5=2,236...

Percebemos, que ao realizar divisão , potenciação e radiciação com números inteiros nem sempre obtemos outros números inteiros. Assim, os números inteiros não são suficientes para resolver todos os problemas do dia-a-dia, científicos e matemáticos.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. 3. ed. renovada - São Paulo: Editora Brasil, 2012 (Coleção Praticando Matemática)

Conjuntos Numéricos: Números Naturais (N)

Ensino Fundamental II e Ensino Médio

 CONJUNTOS NUMÉRICOS: Conjunto dos Naturais(N)

Os números naturais são representados por N. Historicamente, surgiram da necessidade que o ser humano tem contar o que chamamos de correspondência um a um. 

Logicamente, até chegar a este conjunto dos números naturais, muita história rolou (e pode ser até tema a de de outro post). Mas, agora vamos entender quais números que pertencem aos naturais:

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Já os naturais não-nulos representados por N*, possui todos os naturais, exceto o zero.

N* = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10...}

Vamos conhecer algumas propriedades:

1. Existem infinitos números naturais

•  Portanto, não é possível determinar o maior número natural.

2. Todo número natural tem um SUCESSOR (lembrando que sucessor é aquele número que vem depois).

• Qual o sucessor de 85? R: 86
• Qual o sucessor de 8754? R:8755

3.Todo número natural, com exceção do zero tem um ANTECESSOR (lembrando que antecessor é aquele número que vem antes).

• Qual o antecessor de 6?R: 5
• Qual o antecessor de 4587?R: 4.586

4. A soma de dois números naturais sempre é um número natural.

• 78+41 = 119
• 8542+875= 9.417

5. O produto de dois números naturais sempre é um número natural.

• 78*41 = 3.198
• 852*85= 72.420

6. A potenciação de dois números naturais sempre é um número natural.

• 7^2 ( Lê-se: Sete elevado ao quadrado) = 49
• 87^0 (Lê-se: Oitenta e sete elevado a zero) = 1

Dizemos que a adição,multiplicação e potenciação são operações fechadas dentro dos conjuntos naturais, isto é, que realizando com dois números naturais quaisquer soma, multiplicação e potenciação o resultado é igual a um número natural.

Observe: 

7-9= -2

87-4= 83

1/3= 0,333...

10/5=2

5/25= 0,2

Ö8 = 2,828...

Ö81=9

Percebemos, que ao realizar subtração, divisão e radiciação com números naturais nem sempre obtemos outros números naturais. Assim, os números naturais não são suficientes para resolver todos os problemas do dia-a-dia, científicos e matemáticos.

REFERÊNCIAS

ANDRINI, Álvaro. Praticando Matemática. 3. ed. renovada - São Paulo: Editora Brasil, 2012 (Coleção Praticando Matemática)